1樓：匿名使用者
將 f(x)=(1+x)^α 展成taylor 級數：
f(x) = 1+αx+α(α-1)x^2/2+α(α-1)(α-2)x^3/6+........；
當 x很小的時候，忽略 x² 及其以上的高次項，保留一次項得到：
f(x) ≈ 1 + α x (1)
用於作近似計算。
舉例：f(x) = (1+x)^17 計算：f(0.03)=?
利用近似公式(1)，
f(0.03) = 1 + 17×0.03 = 1.51
精確值 f(0.03)=1.03^17≈1.65 誤差：8%，
表明一階近似（1）的精度不是很高，除非x值很小！為了提高近似的精度，可以保留
二次項： f(x) ≈ 1 + α x + α(α-1)x^2/2 (2)
還以上題為例，計算
f(0.03)=1+17×0.03+17×16×0.03^2/2
= 1.51+0.1224
= 1.6324 //: 誤差只有1%了！
這些內容已成近似計算的基本方法。
2樓：匿名使用者
取f(x)=x^a，則df/dx = ax^(a-1)根據中值定理，f(1+x) = f(1) + f'(x1) *x其中x1是(0,x)上的乙個值
所以(1+x)^a=f(1+x) = f(1)+f'(x1)x = 1 + ax1^(a-1) x
顯然，ax^(a-1)連續，所以ax1^(a-1) 在x1趨於0時，為a得證
3樓：匿名使用者
證明：由lim(x->0) (1+x)^(1/x) = e.得lim(x->0) ln (1+x) / x = 1. (取對數)ln(1+x) ~ x.
(以e為底)e^[ln(1 + x)] ~ e^x1 + x ~ e ^ x.
(1 + x) ^ a = e ^ ax ~ 1 + ax.
微積分。求牛萊公式的證明
4樓：其實我早該知道
我們知道,對函式f(x)於區間[a,b]上的定積分表達為：
b(上限)∫a（下限）f(x)dx
現在我們把積分區間的上限作為乙個變數,這樣我們就定義了乙個新的函式：
φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(x)dx
但是這裡x出現了兩種意義,一是表示積分上限,二是表示被積函式的自變數,但定積分中被積函式的自變數取乙個定值是沒意義的.為了只表示積分上限的變動,我們把被積函式的自變數改成別的字母如t,這樣意義就非常清楚了：
φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt
接下來我們就來研究這個函式φ(x）的性質：
1、定義函式φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt,則φ』(x)=f(x).
證明：讓函式φ(x)獲得增量δx,則對應的函式增量
δφ=φ(x+δx)-φ(x)=x+δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt
顯然,x+δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+δx(上限)∫x（下限）f(t)dt
而δφ=x+δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)•δx(ξ在x與x+δx之間,可由定積分中的中值定理推得,
也可自己畫個圖,幾何意義是非常清楚的.)
當δx趨向於0也就是δφ趨向於0時,ξ趨向於x,f(ξ)趨向於f(x),故有lim δx→0 δφ/δx=f(x)
可見這也是導數的定義,所以最後得出φ』(x)=f(x).
2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=f（b）-f（a）,f（x）是f(x)的原函式.
證明：我們已證得φ』(x)=f(x),故φ(x）+c=f（x）
但φ(a)=0（積分區間變為[a,a],故面積為0）,所以f（a）=c
於是有φ(x）+f（a）=f（x）,當x=b時,φ(b)=f（b)-f(a),
而φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt,所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=f（b)-f(a)
把t再寫成x,就變成了開頭的公式,該公式就是牛頓-萊布尼茨公式.
大一微積分泰勒公式證明題？
5樓：匿名使用者
對∀x∈[0,2]，將f(t)在t=x點處泰勒
f(t)=f(x)+f'(x)*(t-x)+f''(ξ)/2*(t-x)^2，其中ξ介於x和t之間
將t=0代入，f(0)=f(x)+f'(x)*(-x)+f''(ξ1)/2*x^2
將t=2代入，f(2)=f(x)+f'(x)*(2-x)+f''(ξ2)/2*(2-x)^2
兩式相減，f(2)-f(0)=2f'(x)+f''(ξ2)/2*(2-x)^2-f''(ξ1)/2*x^2
f'(x)=f(2)/2-f(0)/2+f''(ξ1)/4*x^2-f''(ξ2)/4*(2-x)^2
|f'(x)|<=|f(2)|/2+|f(0)|/2+|f''(ξ1)|/4*x^2+|f''(ξ2)|/4*(2-x)^2
<=1/2+1/2+(1/4)*x^2+(1/4)*(2-x)^2
=1+(1/4)*(4-4x+2x^2)
=(1/2)*(x^2-2x+4)
=(1/2)*[(x-1)^2+3]
=(1/2)*(x-1)^2+3/2
<=2
利用微積分計算1 05開根號5次的近似值
近似計算的方法有很多，最常見的是根據導數的定義進行近似計算。這是工程中最常用的方法。基本思想 1 根據題目的具體要求構造乙個函式 2 選定乙個特殊點x。3 將題目中的1.05當成x，x的增量就是0.05。具體過程，請參見下圖 點選放大 已經傳上，稍等即可 簡單地說 用微積分就是用dx,dy來確定當x...
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