1樓：
由對稱性，先只考慮正整數解：
x^2=(517+30y^2)/(3y^2+1)=10+507/(3y^2+1)
507=3*13*13
3y^2+1=1,3, 13,39, 169,5073y^2=0, 2,12,28, 168, 506y^2=0, 2/3, 4, 28/3, 56, 506/3y=0 or 2
x^2=517, 49---> x=7
因此正整數解只有x=7 , y=2
由對稱性，共有四組解：(7,2), (7,-2), (-7.2),(-7,-2)
2樓：
1組，因為 x²+3x²y²-30y²=517可以分解成（x²-10）（1+3y²）=507.
有因為507=3*13*13.
所以x²-10=3，1+3y²=13*13（無整數解），或x²-10=3*13，1+3y²=13（解為x=7,y=2)，
或x²-10=1，1+3y²=507（無整數解），或x²-10=507，1+3y²=1（無整數解） ,
或x²-10=13*13,1+3y²=3（無整數解）
3樓：久久凌逅
共有(7.2).(7.-2).(-7.2).(-7.-2)四組整數解.
首先令m=x2.n=y2.則原式等於m+3mn-30n.
可化為m=(30n+517)/1+3n=10+507/(3n+1).若使m.n均為整數（且為平方數）,需使507能被3n+1整除.
代入檢驗得只有n=4(可先求507的因數).所以可得答案.
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