1樓:我愛五子棋
下面是畢達哥拉斯提出的證明方法:
假定√2是有理數,即√2 = p/q,在這裡p和q是沒有公約數的正整數(沒有除1以外的其它正整數公因子),於是 p = √2q ,或p2 = 2q2因為p2是個整數的2倍,可知p2是個偶數,從而p必定是偶數。令p=2r,於是前面的等式成為4r2=2q2,或q2=2r2,可知q2是個偶數,從而q必定是偶數。由於p、q都是偶數,它們有乙個公約數2,這與最初的假設p,q是沒有公約數的正整數相矛盾。
於是,由√2是有理數的假定引出了不可能的情況,因而這個假定必然是不對的。
這個證明是數學史上最早的乙個技巧高超的證明,用的是反證法。相傳,畢達哥拉斯對這個證明結果非常珍惜,不打算公開公布這個結果。他的乙個學生為了好奇,悄悄走到老師家裡偷出了檔案,這個證明方法才被公開出來。
從而引起了科學界的第一次數學危機。
2樓:初中數學九筒老師
20190821 數學04
3樓:肖老師k12數學答疑
回答用反證法來證明
假定√2是有理數,即√2 = p/q,在這裡p和q是沒有公約數的正整數(沒有除1以外的其它正整數公因子),於是 p = √2q ,或p2 = 2q2因為p2是個整數的2倍,可知p2是個偶數,從而p必定是偶數。令p=2r,於是前面的等式成為4r2=2q2,或q2=2r2,可知q2是個偶數,從而q必定是偶數。由於p、q都是偶數,它們有乙個公約數2,這與最初的假設p,q是沒有公約數的正整數相矛盾。
於是,由√2是有理數的假定引出了不可能的情況,因而這個假定必然是不對的
希望能幫助到你!
提問那√3又如何證明呢?
回答用模擬推理唄!
√2已經證明了,√3就用√2來證明嘛!
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4樓:匿名使用者
例子:證明根號2是無理數:
證明:若根號2是有理數,則設它等於m/n(m、n為不為零的整數,m、n互質)
所以 (m/n)^2=根號2 ^2 =2
所以 m^2/n^2=2
所以 m^2=2*n^2
所以 m^2是偶數,設m=2k(k是整數)所以 m^2=4k^2=2n^2
所以 n^2=2k^2
所以 n是偶數
因為 m、n互質
所以 矛盾
所以 根號2不是有理數,它是無理數
證明根號2是無理數
5樓:顏代
證明:假設√2是有理數。那麼可用互質的兩個數m、n來表示√2。
即√2=n/m。
那麼由√2=n/m可得,
2=n^2/m^2,即n^2=2*m^2
因為n^2=2*m^2,那麼n^2為偶數,則n也為偶數。
則可令n=2a,那麼(2a)^2=2*m^2,化簡得2a^2=m^2,同理可得m也為偶數。
那可令m=2b。
那麼由m=2b,n=2a可得m與n有共同的質因數2,即m和n不是互質的兩個數。
所以假設不成立。
即√2是有理數不成立,那麼√2是無理數。
6樓:初中數學九筒老師
20190821 數學04
7樓:鮮日國漢
反證法如果√2是有理數,
必有√2=p/q(p、q為互質的正整數)
兩邊平方:2=p^/q^
p^=2q^
顯然p為偶數,
設p=2k(k為正整數)
有:4k^=2q^,
q^=2k^
顯然q業為偶數,
與p、q互質矛盾
∴假設不成立,√2是無理數
8樓:
假設根號2是有理數
有理數可以寫成乙個最簡分數
及兩個互質的整數相除的形式
即根號2=p/q
pq互質
兩邊平方
2=p^2/q^2
p^2=2q^2
所以p^2是偶數
則p是偶數
令p=2m
則4m^2=2q^2
q^2=2m^2
同理可得q是偶數
這和pq互質矛盾
所以假設錯誤
9樓:郝宸呼延華茂
證明:假設√2不是無理數,而是有理數。
既然√2是有理數,它必然可以寫成兩個整數之比的形式:
√2=p/q
又由於p和q沒有公因數可以約去,所以可以認為p/q為最簡分數,即最簡分數形式。
把√2=p/q
兩邊平方
得2=(p^2)/(q^2)
即2(q^2)=p^2
由於2q^2是偶數,p
必定為偶數,設p=2m
由2(q^2)=4(m^2)
得q^2=2m^2
同理q必然也為偶數,設q=2n
既然p和q都是偶數,他們必定有公因數2,這與前面假設p/q是最簡分數矛盾。這個矛盾是由假設√2是有理數引起的。因此√2是無理數。
10樓:曾自覃寄春
證明:假設根號2為有理數,則可表示為兩個最簡整數比的形式:
根號2=p/q
則兩邊平方得:2=
p2/q2
因為2q2必為偶數
所以p必為偶數,設為p=2m,(m屬於z)則p2=4m2=2q2,q2=2m2
所以,p必為4的倍數,q必為2的倍數!
則p,q必有公因數2,p/q不為最簡整數比!
與假設相矛盾
所以,假設錯誤,根號2為無理數!
11樓:匿名使用者
反證法假設√2是有理數,則√2=m/n(m,n是互質的整數)所以m^2=2n^2,
2n^2是偶數,所以m^2是偶數,所以m=2k(k∈z),所以4k^2=2n^2,2k^2=n^2,所以n也是偶數。
這與m,n互質矛盾
所以假設不成立得證。
12樓:匿名使用者
反證法:設根號2為有理數,則它可化為兩個整數相除的形式.分母為整數,假設分母不含因子根號2,則分子必定含有因子根號2,又分子為整數,則分子中根號2的個數必定為偶.
既然分子中根號2個數為偶,則它與分母相除就得不到根號2,這就產生了矛盾。
13樓:軒轅流霜
假設根號2是有理數
那麼根號2可以由兩個互質的素數表示成p/q即根號2=p/q
p=根號2*q
兩邊平方得p^2=2*q^2
所以p^2為偶數
所以p為偶數
所以p^2為4的整數倍
所以q^2為偶數
所以q為偶數
得到p、q均為偶數,並不互質
與假設矛盾
所以根號2為無理數
14樓:飽和食鹽水
有理數的性質是它可以化成乙個分數m/n的形式,且m,n互質.設根2=m/n 則2=m^2/n^2
所以m^2為2的倍數,所以m為偶數.設m=2k,代入原式,所以n^2=2k^2,則n又為的倍數.
而這與m,n互質矛盾,所以不存在這樣的m,n.
所以根2為無理數.
15樓:匿名使用者
假設根號2為有理數,那麼必然可以表示為兩個整數之比,即m/n設m/n為最簡分數,即m.n互質
因為m/n=2
所以(m/n)^2=m^2/n^2=2
m^2=2n^2
所以m^2為偶數,即m為偶數
不妨設m=2k
那麼m^2=4k^2
所以n^2=m^2/2=2k^2
所以n^2為偶數,即n為偶數
所以m,n均為偶數,m/n必有公約數2,即m/n不是最簡分數,與假設矛盾,所以根號2不能表示為兩個整數m/n之比,所以不是有理數,即是無理數
16樓:匿名使用者
設根號2是有理數
根號2=m/n mn為互質整數
則2=m方/n方
m方=2m方 即m方是偶數,m為偶數
m為偶數,則m方為4的倍數
則n方為偶數,n為偶數
則mn不互質
與假設矛盾
所以:根號2是無理數
這種方法叫反證法,
1,假設相反的情況成立
2,根據假設得出於假設矛盾的結論
3,從而證明假設錯誤,原命題正確
17樓:匿名使用者
證明:如果根號2是有理數,
則滿足有理數的性質:任何有理數可以表示成p/q的形式其中p,q為正整數並且p,q互素即最大公約數是1則根據最大公因數的性質有正整數m,n
使mp+nq=1 …………(1)
因為 p/q=根號2 ,為有理數
所以 p=(根號2)*q也是有理數(根據有理數域性質)…………(2)代入(1)
m*(根號2)*q+nq=1 …………(3)又因為m>=1,根號2>1,q>=1,n>=1,所以m*(根號2)*q+nq>1,
與(3)矛盾
所以根號2為無理數證畢!
18樓:蕭泊星辰
上面的反證法是有漏洞的,題目要求證明√2是無理數,就相當於證明只有偶數的平方才是偶數,因此「只有偶數的平方才是偶數」是不能作為論據的,因為那是待證明的結論。
況且,既然假設了√2是有理數,那麼√2這個「有理數」的平方就是偶數,何來「只有偶數的平方才是偶數」?
嚴格的反證法應該是:
假設√2是有理數,即√2=m/n,m/n為最簡分數
由於1<√2<2,所以0<(√2-1)<1
因此m>(√2-1)m=2n-m∈n ; n>(√2-1)n=m-n∈n
所以,√2的最簡分數形式也許為[(√2-1)m]/[(√2-1)n],但肯定不是m/n,這與假設矛盾。故√2是無理數。
怎麼證明√2是無理數
19樓:我愛五子棋
下面是畢達哥拉斯提出的證明方法:
假定√2是有理數,即√2 = p/q,在這裡p和q是沒有公約數的正整數(沒有除1以外的其它正整數公因子),於是 p = √2q ,或p2 = 2q2因為p2是個整數的2倍,可知p2是個偶數,從而p必定是偶數。令p=2r,於是前面的等式成為4r2=2q2,或q2=2r2,可知q2是個偶數,從而q必定是偶數。由於p、q都是偶數,它們有乙個公約數2,這與最初的假設p,q是沒有公約數的正整數相矛盾。
於是,由√2是有理數的假定引出了不可能的情況,因而這個假定必然是不對的。
這個證明是數學史上最早的乙個技巧高超的證明,用的是反證法。相傳,畢達哥拉斯對這個證明結果非常珍惜,不打算公開公布這個結果。他的乙個學生為了好奇,悄悄走到老師家裡偷出了檔案,這個證明方法才被公開出來。
從而引起了科學界的第一次數學危機。
20樓:匿名使用者
如果√2是有理數,必有√2=p/q(p、q為互質的正整數)兩邊平方:2=p^/q^
p^=2q^
顯然p為偶數,設p=2k(k為正整數)
有:4k^=2q^,q^=2k^
顯然q業為偶數,與p、q互質矛盾
∴假設不成立,√2是無理數
很高興為您解答有用請採納
21樓:匿名使用者
假設根號2是有理數 有理數可以寫成乙個最簡分數 及兩個互質的整數相除的形式 即根號2=p/q pq互質 兩邊平方 2=p^2/q^2 p^2=2q^2 所以p^2是偶數 則p是偶數 令p=2m 則4m^2=2q^2 q^2=2m^2 同理可得q是偶數 這和pq互質矛盾 所以假設錯誤 所以根號2是無理數
22樓:初中數學九筒老師
20190821 數學04
如何證明3次根號2是無理數?
23樓:匿名使用者
假設2的立方根為有理數,那麼這個有理數可以寫成a/b,(a,b為整數,且無公約數)
(a/b)^3=2
a^3=2b^3
若a為奇數,則a^3為奇數,而2b^3必定為偶數,不可能相等,所以a為偶數,而b就只能為奇數
令a=2k
得(2k)^3=2b^3
整理得4k^3=b^3
所以b^3是偶數,即b是偶數
與前面矛盾
所以2的立方根為無理數
怎麼證明2是無理數,如何證明 2是無理數
下面是畢達哥拉斯提出的證明方法 假定 2是有理數,即 2 p q,在這裡p和q是沒有公約數的正整數 沒有除1以外的其它正整數公因子 於是 p 2q 或p2 2q2因為p2是個整數的2倍,可知p2是個偶數,從而p必定是偶數。令p 2r,於是前面的等式成為4r2 2q2,或q2 2r2,可知q2是個偶數...
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