1樓：
(x-y)^2≥0恆成立
(x-y)^2=x^2+y^2-2xy≥0兩邊同乘以2
2x^2+2y^2-4xy≥0
因為x,y屬於r+,兩邊同加上2x^2+2y^24x^2+4y^2-4xy≥2x^2+2y^24x^2+4y^2≥2x^2+2y^2+4xy4(x^2+y^2)≥2(x+y)^2
(x^2+y^2)/2≥(x+y)^2/4兩邊同開根號
√[(x^2+y^2)/2]≥(x+y)/2，即q>=a（當且僅當x=y時取等號）
(√x-√y)^2≥0恆成立
即x+y-2(√(xy)),≥0
x+y≥2√(xy)
(x+y)/2≥√(xy)
a>=g
因為x+y≥2√(xy),x,y屬於r+
所以兩邊同乘以√(xy),有
(x+y)*√(xy)≥2√(xy)*√(xy),即(x+y)*√(xy)≥2(xy)
同除以(x+y)
√(xy)≥2xy/(x+y)
g>=h
所以q>=a>=g>=h(當且僅當x=y時取等號)
2樓：堵殊利
2/(1/a+1/b) ≤ √(ab) ≤ (a+b)/2 ≤ √[(a^2+b^2)/2]
調和平均值 幾何平均值 代數平均值 統計平均值a,b>0
僅在a=b時等號成立
證明如下：b＝√(b^2/2+b^2/2)>=√(a^2/2+b^2/2)
因為a^2-2ab+b^2=(a-b)^2>=0所以a^2+b^2>=2ab
√(a^2/2+b^2/2)=√[(2a^2+2b^2)/4]>=√[(a^2+b^2+2ab)/4]=a/2+b/2
a+b=(√a)^2+(√b)^2>=2√ab……（1）式所以a/2+b/2>=√ab
（1）式兩邊同乘√ab
√ab*(a+b)>=2ab
√ab>=2ab/(a+b)=2/(1/a+1/b)把所有的a改成x，b改成y就可以了。
這個是乙個定理。
3樓：
q^2-a^2=(1/4)[2x^2+2y^2-(x+y)^2]=(1/4)(x-y)^2>=0
所以q>a
a>g顯然,這是二元均值不等式
要證g>=h,只要證√(xy)(1/x+1/y)>=2即可,因為√(xy)(1/x+1/y)>=√(xy)2/√(xy)=2成立,所以g>=h成立
綜上,有q>=a>=g>=h.
4樓：棋道難
解：因為x,y屬於r+,
q(x,y)=√[(x^2+y^2)/2],a(x,y)=(x+y)/2,
q(x,y)與a(x,y)都有單調性。
q^2=(x^2+y^2)/2.
a^2(x^2+2xy+y^2)/4.
q^2-a^2=(x-y）^2/4>=0.
所以q>=a。
因為x,y屬於r+,
根據不等式有定義：（x+y)>=2√xy.
即(x+y)/2>=√xy.
所以a>=g。
g(x,y)=√(xy),
h(x,y)=2/(1/x+1/y),
h=2xy/(x+y).
h/g=2xy/[(x+y)*√(xy)].
h/g=2√(xy)/(x+y).
由（x+y)>=2√xy可得：
h/g<=1
即h<=g.
所以q>=a>=g>=h。
原題得證。
證明下列不等式，高等數學 證明下列不等式
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