1樓：
算dx的時候把y當做常數a，就這個時候二重積分就相當於兩次的一重積分。具體細節最好看書。
2樓：匿名使用者
定義設二元函式z=f（x，y）定義在有界閉區域d上，將區域d任意分成n個子域 ，並以 表示第 個子域的面積。在 上任取一點 作和 。如果當各個子域的直徑中的最大值 趨於零時，此和式的極限存在，且該極限值與區域d的分法及 的取法無關，則稱此極限為函式 在區域 上的二重積分，記為 ，即 。
這時，稱 在 上可積，其中 稱被積函式， 稱為被積表示式， 稱為面積元素， 稱為積分區域， 稱為二重積分號。
同時二重積分有著廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心，平面薄片轉動慣量，平面薄片對質點的引力等等。此外二重積分在實際生活，比如無線電中也被廣泛應用。[1]
性質積分的線性性質
性質1 （積分可加性） 函式和（差）的二重積分等於各函式二重積分的和（差），即
性質2 （積分滿足數乘） 被積函式的常係數因子可以提到積分號外，即
(k為常數）[2]
比較性性質3 如果在區域d上有f(x,y)≦g(x,y)，則
[2]估值性
性質4 設m和m分別是函式f(x,y)在有界閉區域d上的最大值和最小值，σ為區域d的面積，
則 性質5 如果在有界閉區域d上f(x,y)=k（k為常數)，σ為d的面積，則sσ=k∫∫dσ=kσ。[2]
二重積分中值定理
設函式f(x,y)在有界閉區域d上連續，σ為區域的面積，則在d上至少存在一點（ξ，η），使得
[2]意義
當被積函式大於零時，二重積分是柱體的體積。
當被積函式小於零時，二重積分是柱體體積負值。[2]
幾何意義
在空間直角座標系中，二重積分是各部分區域上柱體體積的代數和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取負。某些特殊的被積函式f（x，y）的所表示的曲面和d底面所為圍的曲頂柱體的體積公式已知，可以用二重積分的幾何意義的來計算。
例如二重積分 ,其中 ，表示的是以上半球面為頂，半徑為a的圓為底面的乙個曲頂柱體，這個二重積分即為半球體的體積 。[2]
數值意義
二重積分和定積分一樣不是函式，而是乙個數值。因此若乙個連續函式f（x，y）內含有二重積分，對它進行二次積分，這個二重積分的具體數值便可以求解出來。
如函式 ，其積分區域d是由 所圍成的區域。
其中二重積分是乙個常數，不妨設它為a。對等式兩端對d這個積分區域作二重定積分。[2]
故這個函式的具體表示式為：f（x，y）=xy+1/8，等式的右邊就是二重積分數值為a，而等式最左邊根據性質5，可化為常數a乘上積分區域的面積1/3，將含有二重積分的等式可化為未知數a來求解。[1]
二重積分怎麼計算？
3樓：人設不能崩無限
化為二次積分。
∫∫(x+y)dxdy＝∫(0～1)dx∫(1～2) (x+y)dy＝∫(0～1) (x＋3/2)dx ＝1/2＋3/2＝2
二重積分是二元函式在空間上的積分，同定積分類似，是某種特定形式的和的極限。本質是求曲頂柱體體積。重積分有著廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心等。
平面區域的二重積分可以推廣為在高維空間中的（有向）曲面上進行積分，稱為曲面積分。
4樓：wuli都靈
把二重積分化成二次積分，也就是把其中乙個變數當成常量比如y，然後只對乙個變數積分，得到乙個只含y的被積函式，再對y積分就行了。你可以找一本高等數學書看看。
你這個題目積分區域中，x、y並不成函式關係，要是積分區域是由比如說1<=x<=2,y=f(x),y=g(x),所圍成的話，那麼就要先對y積分其中上下限就是f(x)、g(x)，要看誰的圖形在上誰就是上限，這時候的x就當做乙個常數來看待。
5樓：pasirris白沙
1、本題的積分方法是：運用平面極座標；
.2、具體積分方法如下，如有疑問，歡迎追問，有問必答；
.3、若點選放大，**將會更加清晰。...
6樓：黃徐昇
r1 對應圓弧，所以 r1=2 ，
r2 對應的是 y=2 這條直線，寫成極座標就是 r*sin(θ)=2 ，所以 r=2/sin(θ)
7樓：椋露地凜
利用極座標計算二重積分，有公式 ∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ ,其中積分區域是一樣的。 i=∫dx∫(x^2+y^2)^-1/2 dy x的積分上限是1,下限0 y的積分上限是x,下限是x2 積分區域d即為直線y=x,和直線y=x2在區間[0，1]所圍成的面積，轉換為極座標後，θ的範圍為[0,π/4],下面計算r的範圍：因為y=x2的極座標方程為：
rsinθ=r2cos2θ r=sinθ/cos2θ 因為直線y=kx和曲線y=x2的交點為(0,0),(k,k2),所以在極座標中r的取值範圍為[0,sinθ/cos2θ],則積分i化為極座標的積分為 i＝∫dθ∫1/√(rcosθ)2+(rsinθ)2rdr =∫dθ∫dr (θ範圍[0,π/4],r範圍[0,sinθ/cos2θ]) =∫(sinθ/cos2θ)dθ(θ範圍[0,π/4]) =∫(-1/cos2θ)dcosθ =|1/cosθ|(θ範圍[0,π/4]) =1/cos(π/4)-1/cos0 =√2-1
8樓：愽
這是利用了二重積分的性質，二重積分可以化為兩個一重積分，因此①式中先對y變數求積分，這時x變數對於y變數來說是常數，所以對y的函式求得原函式後帶入積分限，即可將①式轉化為②式
9樓：漪善幽雪
利用二重積分的定義來計算二重積分顯然是不實際的,二重積分的計算是通過兩個定積分的計算(即二次積分)來實現的。
一、利用直角座標計算二重積分
我們用幾何觀點來討論二重積分 的計算問題。
討論中,我們假定 ；
假定積分區域可用不等式 表示,
其中, 在上連續。
據二重積分的幾何意義可知,的值等於以為底,以曲面為頂的曲頂柱體的體積。
在區間上任意取定乙個點,作平行於面的平面,這平面截曲頂柱體所得截面是乙個以區間為底,曲線為曲邊的曲邊梯形,其面積為
一般地,過區間上任一點且平行於面的平面截曲頂柱體所得截面的面積為
利用計算平行截面面積為已知的立體之體積的方法,該曲頂柱體的體積為
從而有(1)
上述積分叫做先對y,後對x的二次積分,即先把看作常數,只看作的函式,對計算從到的定積分,然後把所得的結果( 它是的函式 )再對從到計算定積分。
這個先對, 後對的二次積分也常記作
在上述討論中,假定了，利用二重積分的幾何意義,匯出了二重積分的計算公式(1)。但實際上,公式(1)並不受此條件限制,對一般的(在上連續),公式(1)總是成立的。
例如:計算
解:類似地,如果積分區域可以用下述不等式
表示,且函式,在上連續,在上連續,則
(2)顯然,(2)式是先對,後對的二次積分。
二重積分化二次積分時應注意的問題
1、積分區域的形狀
前面所畫的兩類積分區域的形狀具有乙個共同點:
對於i型(或ii型)區域, 用平行於軸(軸 )的直線穿過區域內部,直線與區域的邊界相交不多於兩點。
如果積分區域不滿足這一條件時,可對區域進行剖分,化歸為i型(或ii型)區域的並集。
2、積分限的確定
二重積分化二次積分, 確定兩個定積分的限是關鍵。這裡,我們介紹配置二次積分限的方法 -- 幾何法。
畫出積分區域的圖形(假設的圖形如下 )
在上任取一點,過作平行於軸的直線,該直線穿過區域,與區域的邊界有兩個交點與,這裡的、就是將,看作常數而對積分時的下限和上限；又因是在區間上任意取的,所以再將看作變數而對積分時,積分的下限為、上限為。
【例1】計算,其中是由軸,軸和拋物線在第一象限內所圍成的區域。
類似地,
【例2】計算, 其中是由拋物線及直線所圍成的區域。
【例3】求由曲面及所圍成的立體的體積。
解: 1、作出該立體的簡圖, 並確定它在面上的投影區域
消去變數得一垂直於面的柱面 ,立體鑲嵌在其中,立體在面的投影區域就是該柱面在面上所圍成的區域
2、列出體積計算的表示式
3、配置積分限, 化二重積分為二次積分並作定積分計算
而 由,的對稱性有
所求立體的體積為
二、利用極座標計算二重積分
1、變換公式
按照二重積分的定義有
現研究這一和式極限在極座標中的形式。
用以極點為中心的一族同心圓 以及從極點出發的一族射線 ,將剖分成個小閉區域。
除了包含邊界點的一些小閉區域外,小閉區域的面積可如下計算
其中,表示相鄰兩圓弧半徑的平均值。
(數學上可以證明: 包含邊界點的那些小閉區域所對應項之和的極限為零, 因此, 這樣的一些小區域可以略去不計)
在小區域上取點,設該點直角座標為,據直角座標與極座標的關係有於是即
由於也常記作, 因此,上述變換公式也可以寫成更富有啟發性的形式
(1)(1)式稱之為二重積分由直角座標變數變換成極座標變數的變換公式,其中,就是極座標中的面積元素。
(1)式的記憶方法:
2、極座標下的二重積分計算法
極座標系中的二重積分, 同樣可以化歸為二次積分來計算。
【情形一】積分區域可表示成下述形式
其中函式, 在上連續。
則【情形二】積分區域為下述形式
顯然,這只是情形一的特殊形式( 即極點在積分區域的邊界上 )。
故【情形三】積分區域為下述形式
顯然,這類區域又是情形二的一種變形( 極點包圍在積分區域的內部 ),可剖分成與,而故則
由上面的討論不難發現, 將二重積分化為極座標形式進行計算, 其關鍵之處在於: 將積分區域用極座標變數表示成如下形式
下面通過例子來介紹如何將區域用極座標變數來表示。
【例4】將下列區域用極座標變數表示
1、2、
3、ê先畫出區域的簡圖, 據圖確定極角的最大變化範圍；
ë再過內任一點作射線穿過區域,與區域的邊界有兩交點,將它們用極座標表示,這樣就得到了極徑的變化範圍。
注: 本題不能利用直角座標下二重積分計算法來求其精確值。
利用此題結果可求出著名概率積分 。
而被積函式滿足 ,從而以下不等式
成立，再利用例二的結果有,,
於是不等式可改寫成下述形式
故當時有 ,
即 。
3、使用極座標變換計算二重積分的原則
(1)、積分區域的邊界曲線易於用極座標方程表示( 含圓弧,直線段 )；
(2)、被積函式表示式用極座標變數表示較簡單( 含, 為實數 )。
【例6】計算
解此積分區域為
區域的簡圖為
該區域在極座標下的表示形式為
考研數二考不考二重積分的換元法，二重積分的應用和二重積分換元法，數二考嗎？
不考，考研數學二的考試內容如下 函式的概念及表示法，函式的有界性 單調性 週期性和奇偶性 復合函式 反函式 分段函式和隱函式，基本初等函式的性質及其圖形，初等函式，函式關係的建立，數列極限與函式極限的定義及其性質，函式的左極限和右極限。以及無窮小量和無窮大量的概念及其關係，無窮小量的性質及無窮小量的...
求二重積分f（x），積分區域D x 2 y 24,2xx 2 y 2請用普通座標表示出來，用極座標的就別回答了，謝
1全部d 是大圓之內 小圓之外的區域。用y軸把d分為左右兩部分 d1 和 d右 d右 又分為上下兩部分 d2 和 d3.d1 4 x y 4 x 2 x 0 d2 2x x y 4 x 0 x 2 d3 4 x y 2x x 0 x 2 d d1 d2 d3 畫圖可知，積分區域是圓x 2 y 2 4...
關於二重積分使用洛必達法則的問題
因為分子對x的導數不方便求，因此要將分子上的累次積分交換次序然後用洛必達定則。對式子 x 2 x lnx x 1 求導得 2x 1 1 x 1 這裡須將分子分線同乘以x,以消去分母裡的1 x得到 2x 2 x 1 x 再一次求導 4x 1 1 3 對不起，沒看到下面的。對於式子。lim 2分之 ar...
劃線的哪步是怎麼做到的，二重積分不是不能帶入積分區域方程嗎，而且它積分區域是z 0面
你說很對！二重積分是不可以直接帶入積分區域的，因為積分限是乙個區域。但曲線積分與曲面積分則不同，他不是乙個區域，是沿著這個面，或者這條線來積分。所以，他總是滿足那個方程的。所以，線面積分是可以直接積分限的。扯的有點遠了。回到本題！這個題使用常規的方法，先x再y,或者先y再x積分，都是沒有問題的。結果...