1樓：匿名使用者
樓上各位的回答是錯誤的。
就前n項和而言，並不是 1^2 + 2^2 + 3^2 + ……+n^2
例如 n =4時， 是求 1+2+2+3的和，而不是 1+2+2+3+3+3+4+4+4+4 的和。
對於乙個任意給定的自然數n，我們首先要求出其中的前 n 項的和，而這前 n項的和 可以表達為 1+2^2+3^2+……+m^2。
顯然 m 和 n 之間的關係為 n=m(m+1)/2
而這前n項之和為 m(m+1)(2m+1)/6
而餘下的 n-n 項之和為 (m+1)*(n-n) = (m+1)*[n-m(m+1)/2]
總和為 s = m(m+1)(2m+1)/6 + (m+1)*[n-m(m+1)/2]
可以看到最後的表示式子中，不僅含有n，而且還還有 乙個引數m。
下面討論 n 和m 的關係
顯然 m(m+1)/2≤ n < (m+1)(m+2)/2，其中m和n均為正整數。
對於乙個給定的n，由於正整數的限制，滿足以上不等式的m的解是唯一的。
例如 n=1 則 m=1
n=2 則 m=1
n=3 則 m=2
n=4 則 m=2
n=5 則 m=2
n=6 則 m=3
……n=100 則 m=13
為更確切地給出m和n之間的關係，可對不等式m(m+1)/2≤ n < (m+1)(m+2)/2 求解。結果為：
〔sqrt(4n+1)-1]/2 ≤ m ≤ 〔sqrt(4n+1)+1]/2
且 m > [sqrt(8n+1)-3]/2
這個結果看上去比較麻煩。但沒有辦法。你出的問題本身就是個麻煩的問題。
不能簡單地把最後的「和」表示成n的函式，而是要表示成含有另外乙個引數的函式，而這另外乙個引數與n之間存在以上函式關係。這樣的函式關係雖然是不等式形式的，但對任意給定的n，m的整數解都是唯一的。
2樓：匿名使用者
上式化簡單為1^2+2^2+3^2+4^2+……+n^2，是二級等差數列，前n項求和公式是n(n+1)(2n+1)/6
3樓：
很簡單 可寫成1＋2×2＋3×3..... 聯想到公式1/6n(n+1)(2n+1)◎ 而原試中的項數n=1/2n(n+1) 再用求根公式用n表示n 再代入◎試即可
4樓：
你把數列這樣排列：
12 2
3 3 3
4 4 4 4
...這樣每一橫行的和就是乙個這樣的數列了：
12的平方
3的平方
4的平方
...k的平方
和=1的平方+2的平方+3的平方+4的平方+...+k的平方=k(k+1)(2k+1)/6
k怎麼用n代入我也不怎麼清楚，這網咖裡沒有紙，不好算
5樓：在石霜寺捉小精靈的腰果
等於1的平方加2的平方加3的平方.......
6樓：匿名使用者
和=1的平方+2的平方+3的平方+4的平方+...+k的平方 =k(k+1)(2k+1)/6
7樓：匿名使用者
k(k+1)(2k+1)/6
8樓：
用c語言程式設計也很好解決的
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+.........n*(n+1)如何求和？
9樓：你愛我媽呀
解法一：
1×2+2×3+3×4+...+n(n+1)=⅓×[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+...+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]
=⅓n(n+1)(n+2)
解法二：
考察一般項第k項，k(k+1)=k²+k
1×2+2×3+3×4+...+n(n+1)=(1²+2²+3²+...+n²)+(1+2+3+...
+n)=n(n+1)(2n+1)/6 +n(n+1)/2=[n(n+1)/6](2n+1+3)
=n(n+1)(2n+4)/6
=⅓n(n+1)(n+2)
10樓：等待楓葉
^1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+.........n*(n+1)等於n(n+1)(n+2)/3。
解：令數列an=n*(n+1)，
那麼1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+.........n*(n+1)即為數列an前n項和sn。
又因為an=n*(n+1)=n^2+n，
那麼sn=1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+.........n*(n+1)
=1^2+1+2^2+2+3^2+3+...+(n-1)^2+(n-1)+n^2+n
=(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+(1+2+3+...+n)
又根據平方和公式1^2+2^2+3^2+...+n^2=n*(n+1)*(2n+1)/6可得，
sn=(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+(1+2+3+...+n)
=n*(n+1)*(2n+1)/6+n*(n+1)/2
=n(n+1)(n+2)/3
即數列anan前n項和sn=n(n+1)(n+2)/3。
11樓：阿可斯
分成1+2+3+……+n+(1^2+2^2+3^2+……+n^2)=(1+n)*n/2+1/6*n(n+1)(2n+1)=(n+1)*(n+2)*n/3。
重點是怎麼求1^2+2^2+……+n^2，這裡講2種方法，設sn=1^2+2^2+……+n^2。
方法1：
成1+2+3+4+5……+n
+2+3+4+5+……+n
3+4+5+……+n
4+5+……+n
……+n
用求和公式：
(1+n)n/2
+(2+n)(n-1)/2
+……+(n+n)(n-(n-1))/2
化簡=0.5*[(n+1)n+(n+2)(n-1)+(n+3)(n-2)+(n+4)(n-3)+……(n+n)(n-(n-1)]=0.5*[n^2*n+n*n-(2^2+……+n^2)+（2+3+4+……+n）]=0.
5*[n^3+n^2-(sn-1)+(n+2)(n-1)/2]
這就相當於得到乙個關於sn的方程。
化簡一下：
n^3+n^2+1+(n+2)(n-1)/2=3sn，得
sn=1/3*n^3+1/2*n+1/6*n即
1/6*n(n+1)(2n+1)
方法2：
sn=s(n-1)+n^2
=s(n-1)+1/3*[n^3-(n-1)^3]+n-1/3
=s(n-1)+1/3*[n^3-(n-1)^3]+1/2*[n^2-(n-1)^2]+1/6
=s(n-1)+1/3*[n^3-(n-1)^3]+1/2*[n^2-(n-1)^2]+1/6*[n-(n-1)]
即sn-1/3*n^3-1/2*n^2-n/6=s(n-1)-1/3*(n-1)^3-1/2*(n-1)^2-(n-1)/6
好了！等式左面全是n,右面全是(n-1)，以此遞推下去，得
sn-1/3*n^3-1/2*n^2-n/6
=s(n-1)-1/3*(n-1)^3-1/2*(n-1)^2-(n-1)/6
=s(n-2)-1/3*(n-2)^3-1/2*(n-2)^2-(n-2)/6
……=s(1)-1/3*(1-1)^3-1/2*(1-1)^2-(1-1)/6
=0所以sn=1/3*n^3+1/2*n+1/6*n
通常我們是當成乙個等式背下來，再帶到要求的數列中去。
12樓：老樹枝勾琬
證明:數學歸納法
n=1,左邊=1*2=2
右邊=1*(1+1)(1+2)/3=2
假設n=k成立,即
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+k(k+1)=k(k+1)(k+2)/3當n=k+1時
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+k(k+1)+(k+1)(k+2)
=k(k+1)(k+2)/3+(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(k/3+1)
=(k+1)(k+2)(k+3)/3
所以命題成立。
故1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
1/2+2/3+3/4+4/5+.........n/(n+1)前n項和公式！
13樓：仨x不等於四
這個數列是a[n]=n/(n+1)=1-1/(n+1)於是s[n]=n-(1/2+1/3+…+1/n)=n+1-(1+1/2+1/3+…+1/n)
後面這個1+1/2+1/3+…+1/n是著名的調和級數，寫不出具體通項公式，但是當n足夠大的回時候答有近似公式lnn+c（c為尤拉常數，現在數學界還沒有研究清楚這個數到底是怎麼回事，不知道是個有理數還是無理數）
具體看這個
14樓：匿名使用者
把1/2看成1-1/2，2/3看成1-1/3,.......
這樣前n項和就變成n-[1/2+1/3+1/4+...+1/(n+1)]
後邊那部分用公式求
1+2+3+4+5+6......+n為什麼=n（n+1）/2
15樓：真心話啊
解釋過程：
s=1+2+3+...+n ①
s=n+(n-1)+...+1②
①+②2s = (n+1)+(n+1)+...+(n+1)=n(n+1)
s=n（n+1）/2
1+2+3+...+n=s=n（n+1）/2這是乙個等差數列的求和公式。
等差數列是指從第二項起，每一項與它的前一項的差等於同乙個常數的一種數列，常用a、p表示。這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示。
即（首項+末項）×項數÷2。
16樓：浪子_回頭
證明：首數加尾數等於n+1，次首數加次尾數等於n+1。
所以一共n/2個n+1。如果n為偶，自然沒問題；如果n為奇數，那麼中間的數等於（n+1）/2，和就是（n+1）/2+（n-1）×（n+1）/2=n（n+1）/2。
所以1+2+3+4+5+6......+n=n（n+1）/2。
17樓：匿名使用者
很簡單，首數加尾數等於n+1,次首數加次尾數等於n+1。。。。
所以一共n/2個n+1.如果n為偶，自然沒問題，如果n為奇數，那麼中間的數等於（n+1）/2.
因此此公式成立。
你也可以把他想成一共梯形，上底為首數，下底為尾數，高為項數，面積為和。
18樓：黃涸
我是黃河，看下面的**，個人原創，不需要什麼公式，不需要過多解釋：
我來上圖吧：
19樓：匿名使用者
1+2+3+4+……+n=x
n+（n-1）+（n-2）+（n-3）+……+1=x上下兩式相加，左邊有n個1+n，右邊有2個x，相等，即n（n+1）=2x
解得x=n（n+1）/2
1^1+2^2+3^3+4^4+5^5+......+n^n=? 數列求和 n的n次方 怎麼做？
20樓：霸刀封天
^^^利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
……n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
請指教，解答完畢！！！！
求數列的前n項和公式，求數列 1 n 的前n項和公式
1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 n ln n 0.5772 0.57722.乙個無理數,稱作尤拉初始,專為調和級數所用 求數列的前n項和是高中數學 數列 一章的教學重點之一，而對於一些非等差數列，又非等比數列的某些數列求和，是教材的難點。不過，只要認真去探求這些數列的特點。和結構，也並非無規...
在數列an中,an 1 n n 2 。求數列an的前n項和
an 1 n n 2 1 2 1 n 1 n 2 sn 1 1 3 1 2 4 1 3 5 1 n n 2 1 2 1 1 3 1 2 1 4 1 3 1 5 1 n 1 n 2 1 2 1 1 2 1 n 1 1 n 3n n 2 4n n 1 a1 1 1 3 1 2 1 1 1 3 a2 1 ...
已知等差數列an中,a1 21,d 4,求數列an的前n項的和
an a1 n 1 d 21 n 1 4 4n 25a6 1 0 a7 3 0 sn a1 a2 an tn a1 a2 an 1 當n 6時，tn a1 a2 an a1 a2 an sn na1 n n 1 2 d 21n n n 1 2 4 2n 2 23n 2 當n 7時，tn a1 a2 ...
如何求數列1,1 1 2 ,1 1 2 31 1 2 3n的前n項和
自然數的前n項和sn 1 n n 2，所以1,1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 3 n 的通項為an 1 1 n n 2 2 n 1 n 2 1 n 1 n 1 所以前n項和sn 2 1 1 n 1 2n n 1 1 1 2 3 n 1 1 n n 2 2 1 n n 2 n 2 n 1 因此...
滿足a2 0，a6 a8 10求數列an的通項公
i a6 a8 10 所以a7 a6 a8 2 5 因為a2 0 所以d 5 0 5 1 那麼an a2 n 2 d 0 2 n 2 n ii bn an 2 n 1 2 n 2 n 1 sn 1 2 0 0 2 1 1 2 2 2 n 2 n 1 1 sn 2 1 2 1 0 2 2 1 2 3 ...