1樓：匿名使用者
三角形abc面積的最大值為2/3。
詳細解法如下：
根據三角形的中線定理可知，對於三角形abc，有ab^2+bc^2=2ad^2+2bd^2。
設ab=x，bc=y，已知ab=ac=2ad，則有x^2+y^2=2(x/2)^2+2=(x^2)/2+2，可得y^2=2-(x^2)/2，即x^2=4-2y^2。
對於等邊三角形abc來說，設bc邊上的高=h，則有h^2=x^2-（y/2）^2
[s△（abc）]^2=(yh/2)^2=(1/4)(y^2)[x^2-（y/2）^2]
=(1/4)(y^2)[4-2y^2-（y/2）^2]
=(1/4)(y^2)[4-(9/4)y^2]
=(9/16)(y^2)[16/9-y^2]
=-(9/16)[y^4-(16/9)y^2+64/81-64/81]
=-(9/16)[y^2-8/9]^2+4/9
≦4/9
因此，s△（abc）≦2/3，即三角形abc的最大面積為2/3。
此題考查對三角形的中線定理內容的理解：三角形一條中線兩側所對邊平方和等於底邊的一半平方與該邊中線平方的和的2倍。
2樓：匿名使用者
s最大=√3/3。
證明：∵d為ac中點，
∴sδabc=2sδabd
=2ad*bdsin∠adb
≤2ad*bd，
當且僅當sin∠adb=1時取等號，
這時∠adb=90°，
又sin∠abd=ad/ab=1/2，
∴∠abd=30°，ad=bd/√3=1/√3，∴ab=2ad=2/√3，
又∠a=90°-∠abd=60°，ab=ac，∴δabc是等邊三角形，
∴ sδabc=√3/4*ab^2=√3/4×4/3=√3/3。
3樓：飄渺的綠夢
令△abc中，ab＝ac＝x、bc＝y、bc上的高＝h。則：
由三角形中線長計算公式，有：
（1/2）√（2ab^2＋2bc^2－ac^2）＝bd＝1，∴√（2x^2＋2y^2－x^2）＝2，
∴x^2＋2y^2＝4，∴x^2＝4－2y^2。
顯然有：
［s(△abc)］^2
＝［（1/2）yh］^2
＝（1/4）y^2［x^2－（y/2）^2］＝（1/4）y^2［（4－2y^2）－（1/4）y^2］＝（1/4）y^2［4－（9/4）y^2］＝（1/16）（16y^2－9y^4）
＝－（1/16）［（3y^2）^2－（16/3）（3y^2）＋（8/3）^2］＋（1/16）×（8/3）^2
＝（8/12）^2－（1/16）（3y^2－8/3）^2。
∴當3y^2＝8/3時，［s(△abc)］^2有最大值＝（8/12）^2＝（2/3）^2，
∴s(△abc)有最大值＝2/3。
∴△abc面積的最大值為2/3。
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