1樓：郭敦顒
郭敦顒回答：
連續k個正整數之積，設最小的正整數是a+1，則連續k個正整數之積是從（a+k）個元素中取k個元素的選排列數=a下標（a+k）上標k=p下標（a+k）/p下標a=（a+k）！/a！
但組合數c下標（a+k）上標k= a下標（a+k）上標k/ k！=（a+k）！/（a！• k！）
∴連續k個正整數之積，必然被k！整除。
2樓：匿名使用者
設這連續k個正整數裡最大的數為n，則n(n-1)(n-2)...(n-k+1)/k!是組合數c(n,k)，必然是正整數。
3樓：匿名使用者
n+1到n+k這k個數裡面，任意質數p的因子重數為
[(n+k)/p]-[n/p]+[(n+k)/p^2]-[n/p^2]+[(n+k)/p^3]-[n/p^3]+....... (把p的次數無限提高，求和)
函式[x]代表不超過x的最大整數，即向下取整函式。
1到k這k個數裡面，任意質數p的個數為
[k/p]+[k/p^2]+[k/p^3]+......
因為向下取整函式的性質：對任意實數x，y，都有[x]+[y]<=[x+y]，所以
[(n+k)/p]-[n/p]>=[k/p]
[(n+k)/p^2]-f(n/p^2)>=[k/p^2]
[(n+k)/p^3]-[n/p^2]>=[k/p^3]
....
因此一求和，(n+1)*...*(n+k)裡面的p因子重數總是不比k!裡的少。
因為這個關係對任意質數p都成立，分析下質因數分解可知，所以就能整除了。
4樓：
首先要說說鴿籠原則
n+1個鴿子放進n個鴿籠，如果沒有鴿籠空著，至少有乙個籠子中裝有2只鴿子。
同理，n個連續的自然數中必有1個是n的倍數。
k個正整數裡，至少有1個是k的倍數，有1個是k-1的倍數（因為也是k-1個連續整數），有1個是k-2的倍數...至少有1個2的倍數。
所以，連續k個正整數之積，必然被k！=k（k-1）（k-2）···2·1 整除。
如何用"k個連續正整數中必有乙個能被k整除"證明任意k個連續整數能被k，整除
5樓：小樂笑了
把這k個連續正整數，寫成ks+i, ks+i+1,ks+i+2,...,ks+i+（k-1）的形式
其中整數i滿足 0些數都不能被
專k整除，則
0屬0 即0 而這是不可能成立的，因此假設錯誤，則必有1個能被k整除 如何證明 n個連續整數之積必能被n，整除 6樓：小樂笑了 設這個n個連續整數，分別是 k+1，k+2，...，k+n 則k+1≡ t (mod n) k+2≡ t+1(mod n) ...k+n≡ t+n-1 (mod n)由於模n剩餘類中，只有回n個等價類（即餘數只能是答0，1，2。。。n-1這n種情況） 因此t ，t+1，t+2, ... ,t+n-1 必有1個滿足 = 0(mod n) 即k+1，k+2，...，k+n，中必有1個能被n整除因此，n|(k+1)(k+2)...(k+n) 證明：任意連續的100個正整數的乘積，一定是100！的整數倍。
10 7樓：匿名使用者 題不對，因為4×5×6×……×103的乘積不是100！的整數倍，是103/6倍。 8樓：厲霽 100個數中只有50個奇數，所以質數的個數一定小於50個。所以任取51個數，其中一定存在乙個是另乙個的倍數。 9樓：匿名使用者 因為這一百個數中必定有乙個數是100的整數倍，而這個數是也是總乘積的約數，所以總乘積也必然是100的整數倍 10樓： 50 連續偶數是2和4 證明：對於任意連續n個自然數，它們的乘積一定能被n!整除。 11樓：匿名使用者 對於所bai有的自然數，可以劃分為du2類，分別是被 zhi2除餘0的和被dao2除餘1的， 專即通常說的偶屬數和奇數，而相鄰的兩個數，必為1奇1偶，分別屬於這兩類。換言之，相鄰的兩個數必有1個被2除餘0，也就是能被2整除，是2的倍數。因此這2個數的積一定能被2整除。 類似的，對於所有的自然數，可以劃分為k類（其中k是正整數），分別是被k除餘0的、餘1的......餘（k－1）的，而相鄰的k個數，一定分別屬於這k類，所以，相鄰的k個自然數中必有1個數是k的倍數，因而相鄰k個自然數的乘積一定能被k整除。 12樓：匿名使用者 n*（n+1）*（n+2）。。。。 ———————————— nn跟n一約就是整除了 怎樣證明連續n個數的積能被n，整除 13樓：小樂笑了 設這個n個連續整數來 ，分自別是 k+1，k+2，...，k+n 則k+1≡ t (mod n) k+2≡ t+1(mod n) ...k+n≡ t+n-1 (mod n)由於模bain剩餘類du中，zhi只有n個等價dao類（即餘數只能是0，1，2。。。n-1這n種情況） 因此t ，t+1，t+2, ... ,t+n-1 必有1個滿足 = 0(mod n) 即k+1，k+2，...，k+n，中必有1個能被n整除因此，n|(k+1)(k+2)...(k+n)