1樓：匿名使用者
設切線的方程為 x/m+y/n=1① 則面積s=imni/2 把y=a/x 代入①得 nx+ma/x-mn=0
即 nx^2-mnx+ma=0 ② 因為是切線，所以方程②有兩相等實數根，則判別式=0
所以 (mn)^2-4mna=0 所以 mn=4a 即 s=i2ai 證畢。簡單明瞭
2樓：
明：由xy=a得 y=a/x
其導數為 y'=-a^2/x^2
設m(x0,y0)是雙曲線xy=a方上任意一點處切線的切點∴切線方程為 (y-y0)/(x-x0)=-a^2/x0^2令y=0 求x軸上的截距x
(0-y0)/(x-x0)=-a^2/x0^2x-xo=y0*x0^2/a^2=x0*y0*x0/a^2∵x0*y0=a^2
∴x=a^2*x0/a^2+x0=2x0
令x=0 求y軸上的截距y
(y-y0)/(0-x0)=-a^2/x0^2y-yo=x0*a/x0^2=a^2/x0∵x0*y0=a^2
∴y0=a^2/x0
∴y=y0+a^2/x0=a^2/x0+a^2/x0=2a^2/x0從而 雙曲線xy=a方上任意一點處切線與雙座標軸構成三角形面積=1/2*x*y=1/2*2x0*2a^2/x0=2a^2
3樓：酒不醉_心醉
有2中方法..
解:①由xy=a得 y=a/x
其導數為 y'=-a^2/x^2
設m(x0,y0)是雙曲線xy=a方上任意一點處切線的切點
∴切線方程為 (y-y0)/(x-x0)=-a^2/x0^2
令y=0 求x軸上的截距x
(0-y0)/(x-x0)=-a^2/x0^2
x-xo=y0*x0^2/a^2=x0*y0*x0/a^2
∵x0*y0=a^2
∴x=a^2*x0/a^2+x0=2x0
令x=0 求y軸上的截距y
(y-y0)/(0-x0)=-a^2/x0^2
y-yo=x0*a/x0^2=a^2/x0
∵x0*y0=a^2
∴y0=a^2/x0
∴y=y0+a^2/x0=a^2/x0+a^2/x0=2a^2/x0
從而 雙曲線xy=a方上任意一點處切線與雙座標軸構成三角形面積=1/2*x*y=1/2*2x0*2a^2/x0=2a^2 或者②
設切線的方程為 x/m+y/n=1① 則面積s=imni/2 把y=a/x 代入①得 nx+ma/x-mn=0
即 nx^2-mnx+ma=0 ② 因為是切線，所以方程②有兩相等實數根，則判別式=0
所以 (mn)^2-4mna=0 所以 mn=4a 即 s=i2ai 證畢。
證明：雙曲線χy=a2次方上任一點處的切線與兩座標軸構成的三角形面積都等於2a2次方
4樓：打打打不溜
因a^2>0,則影象在
一、三象限,圖形關於原點對稱,討論第一象限,就可知道第三象限情況。
設xy=a^2上任一點p（x0,y0),其切線為：y=kx+b,與y軸交點為a（0,n),與x軸交點b（m,0),令x=0,y=n,y=0,x=m,0=km+n,k=-n/m,(m>0,n>0)，
則切線方程為：y=-nx/m+n,
p為切線和雙曲線的公共點,故同時滿足二方程條件,y0=-nx0/m+n,(1)
x0y0=a^2,(2)
(1)代入（2）式,
x0(-nx0/m+n)=a^2,
nx0^2-mnx0+ma^2=0,
因直線和雙曲線相切,則只有乙個公共點,則二次方程判別式△=0,m^2n^2-4mna^2=0,
mn=4a^2,
mn/2=2a^2,
∴s△aob=m*n/2=2a^2。
全部用初中知識解答。
已知雙曲線xy=2上任意一點處的切線與座標軸構成的三角形面積為定值，則這個定值為（ ）
a．2b．4
c．8d．16
答案：將xy=2化為y=2x，則y′=-2/x2，取特殊點p（1，2），則p處的切線斜率為k=-2，切線方程為y-2=-2（x-1），
與兩座標軸的交點a（0，4），b（2，0），∴s=1/2
oa×ob=4．
故答案選b
5樓：匿名使用者
設雙曲線上任意一點(b,a^2/b)
這點處切線斜率k=y『=-a^2/x^2=-a^2/b^2切線方程為y-a^2/b=-(a^2/b^2)(x-b)與座標軸交點為（2b,0）和（0,2a^2/b）三角形面積=0.5*2b*2a^2/b=2a^2
證明：雙曲線xy=a^2上任一點處的切線與兩座標軸構成的三角形面積都等於2a^2.
6樓：匿名使用者
設雙曲線上一點為(s,a^2/s)，那麼過著點的切線為y-a^2/s=-a^2/s^2(x-s)。
與座標軸的截距為2a^2/s,2s。
所以三角形面積都等於2a^2。
如何證明：雙曲線χy=a2次方上任一點處的切線與兩座標軸構成的三角形面積都等於2a2次方？
7樓：打打打不溜
因a^2>0,則影象在
一、三象限,圖形關於原點對稱,討論第一象限,就可知道第三象限情況。
設xy=a^2上任一點p（x0,y0),其切線為：y=kx+b,與y軸交點為a（0,n),與x軸交點b（m,0),令x=0,y=n,y=0,x=m,0=km+n,k=-n/m,(m>0,n>0)，
則切線方程為：y=-nx/m+n,
p為切線和雙曲線的公共點,故同時滿足二方程條件,y0=-nx0/m+n,(1)
x0y0=a^2,(2)
(1)代入（2）式,
x0(-nx0/m+n)=a^2,
nx0^2-mnx0+ma^2=0,
因直線和雙曲線相切,則只有乙個公共點,則二次方程判別式△=0,m^2n^2-4mna^2=0,
mn=4a^2,
mn/2=2a^2,
∴s△aob=m*n/2=2a^2。
全部用初中知識解答。
已知雙曲線xy=2上任意一點處的切線與座標軸構成的三角形面積為定值，則這個定值為（ ）
a．2b．4
c．8d．16
答案：將xy=2化為y=2x，則y′=-2/x2，取特殊點p（1，2），則p處的切線斜率為k=-2，切線方程為y-2=-2（x-1），
與兩座標軸的交點a（0，4），b（2，0），∴s=1/2
oa×ob=4．
故答案選b
大學高數：證明雙曲線xy=a2上任一點處的切線與兩座標軸構成的三角形的面積都等於2a2。
8樓：匿名使用者
p（x0,y0）切線方程y-y0=（-1/x0�0�5）（x-x0）.與x軸，y軸
交於a（a,0）,b（0,b）.
0-y0==（-1/x0�0�5）（a-x0）.b-y0=（-1/x0�0�5）（0-x0）.
解得：a=2x0. b=2/x0.切線與兩條座標軸構成的三角形的面積＝ab/2＝2.
曲線y=1/x上任一點處的切線與兩條座標軸構成的三角形的面積為常數.
證明：雙曲線xy=1上任意點處切線與兩座標軸圍成的三角形面積為定值。
9樓：匿名使用者
y=1/x,
y'=-1/x^2,
∴雙曲線xy=1上任意一點(x0,1/x0)處的切線：y-1/x0=-(x-x0)/x0^2
與x軸交於點a(2x0,0),與y軸交於點b(0，2/x0),∴s△oab=(1/2)|oa*ob|=2，為定值.
不必把點斜式方程化為截距式方程。令y=0,得x=2x0,即得a(2x0,0),餘者類推.